5. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES.

Cuando nos planteamos la resolución de varias ecuaciones a la vez con varias incógnitas, estamos ante un sistema y en el caso más sencillo, donde todas las ecuaciones sean lineales, se llama sistema de ecuaciones lineales. Existen muchas formas de resolver dichos sistemas, empezando por las clásicas de reducción, sustitución e igualación que son las primeras que nos enseñan, puesto que son muy fáciles de asimilar. Ahora bien, dado un sistema no siempre es necesario resolverlo sino que, a veces, sólo hace falta saber si tiene o no solución: discutir el sistema; en este caso utilizaremos el conocido teorema de Rouché-Frobenius, y las consecuencias de dicho teorema. En cuando a la resolución daremos algunos sencillos métodos y comentaremos el método de Gauss como otra alternativa de resolución.

 

Definición.

Se llama sistema de ecuaciones lineales a un conjunto de ecuaciones de la forma:

donde x1, ..., xn son las incógnitas,  b1, ..., bm se denominan términos independientes y los números aij se llaman coeficientes de las incógnitas, formando una matriz que denominaremos A, matriz de coeficientes. Cuando el término independiente sea cero, estamos ante un caso particular de sistemas que denominamos homogéneos.

Un conjunto de n números que verifiquen todas las ecuaciones se llama solución del sistema. Dado un sistema de ecuaciones, el objetivo principal es hallar todas sus soluciones, es decir, hallar todos los valores de x1, ..., xn que verifican todas las ecuaciones.

Atendiendo al número de soluciones, los sistemas de ecuaciones lineales podemos clasificarlos en tres tipos:

Sistema incompatible:  son aquellos que no poseen solución.

Sistema compatible:  son aquellos que poseen solución. Dentro de ellos, podemos hablar de:

Sistema compatible determinado: sistemas con una única solución.

Sistema compatible indeterminado: sistemas con infinitas soluciones.

En un sistema de ecuaciones lineales sólo se pueden dar estas tres situaciones, es decir, o no tiene solución, o tiene una, o tiene infinitas, por lo tanto, nunca podemos encontrar un sistema lineal, con, por ejemplo, tres soluciones.

 

Teóricamente, es muy cómodo utilizar la notación matricial para un sistema. Así, todo sistema de ecuaciones lineales puede ser escrito matricialmente de la forma:

Si notamos por A a la matriz de coeficientes, x al vector de incógnitas y b al vector de términos independientes el sistema quedaría:

A x = b

 

Hay ocasiones en las cuales sólo interesa saber si el sistema posee o no solución, y en caso de poseer, si es única o no.

 

Teorema (Rouché-Frobenius)

Consideremos un sistema de ecuaciones lineales A x = b, y llamemos matriz ampliada del sistema a A* = (A|b). Entonces:

Si  Rango(A) < Rango(A*), el sistema resulta incompatible.

Si  Rango(A) = Rango(A*) = n (nº incógnitas), el sistema resulta compatible determinado.

Si  Rango(A) = Rango(A*) < n (nº incógnitas), el sistema resulta compatible indeterminado.

 

Para la resolución de los sistemas lineales existen varios métodos, si bien resaltaremos dos. Cuando el sistema sea compatible determinado, esto es, el determinante de la matriz de coeficientes sea distinto de cero, siempre podemos “despejar” del sistema de la forma:

x = A-1 b

Hacemos hincapié que este método sólo es posible aplicarlo en el caso que exista la inversa de A, es decir, para sistemas compatibles determinados.

En segundo lugar, podemos utilizar la regla de Cramer, válida para cualquier sistema compatible, la cual mostramos en el siguiente ejemplo.

 

Ejemplo

 

Discutir y resolver el sistema:

 

 

Solución:

 

Para discutir un sistema de ecuaciones lineales, determinamos los rangos de la matriz de coeficientes y de la ampliada y aplicamos el teorema de Rouché. 

 

Puesto que det(A) = -64, podemos afirmar que el rango de A es 3 y la matriz ampliada, al no poder superar este rango, también resulta de rango 3.  Como coincide con el número de incógnitas, el sistema es compatible determinado.

 

Para resolverlo, como es compatible determinado, podemos aplicar los dos métodos indicados anteriormente:

 

Si calculamos la inversa de A, obtenemos:

 

 

Luego la solución del sistema es:

Es decir, x=-3, y=1, z=2.

 

 

2) Si aplicamos la regla de Cramer, cada incógnita se obtiene como el cociente de dos determinantes: en el denominador siempre va el determinante de A y en el numerador el mismo determinante donde hemos sustituido la columna de la incógnita correspondiente por la columna del término independiente. Así, en nuestro caso obtenemos:

 

          

 

que coincide, como es obvio, con el resultado obtenido por el otro método.

 

 

 

 

Ejemplo

 

Discutir y resolver el sistema:

Solución:

 

Calculemos el rango de A. Puesto que:

 

 

podemos afirmar que el rango, al menos, es dos.  Si realizamos el determinante de la matriz resulta cero, por lo que el rango de A es dos.

 

Para calcular el rango de la matriz ampliada, hemos de construir un determinante de tamaño tres a partir del menor de orden dos que hemos encontrado distinto de cero, en nuestro caso, la única posibilidad es:

 

 

por lo que podemos afirmar que el rango de la matriz ampliada es dos. Como coinciden los rangos, el sistema es compatible, pero al ser menor que el número de incógnitas es indeterminado, esto es, admite infinitas soluciones. Para obtenerlas, hemos de decidir cuáles son las incógnitas principales y cuáles las secundarias. Un buen método es escoger como variables principales las que han participado en el rango, en nuestro caso x e y, y pasamos la(s) otra(s) a la derecha del sistema, despejando en función de ellas; podemos observar, por tanto, que dependerá del menor que hayamos elegido para el cálculo del rango la elección de las variables principales que realicemos. Así, eliminando las ecuaciones que son dependientes, el sistema queda:

 

el cual se puede resolver de diversas formas, aplicando Cramer por ejemplo, si bien, en éste, resulta más fácil sustituir y despejar. Sustituyendo la expresión de y en la primera ecuación:

 

de donde x = 7 - 9z.

 

Así, la solución del sistema resulta  (7 - 9z,  3/2 + 5z, z), para cualquier valor de z.

 

 

 

 

 

Ejemplo

 

Discutir y resolver el sistema:

 

Solución:

 

Calculemos los rangos de la matriz A y su ampliada. El determinante de A es cero, por lo que el rango no es tres. Si calculamos, por ejemplo:

 

 

podemos afirmar que el rango es dos. Para calcular el rango de la ampliada, vemos si el determinante siguiente es distinto de cero:

 

por lo que el rango de la ampliada es tres. Como no coinciden los rangos, podemos afirmar que el sistema es incompatible, es decir, no existe ningún valor de x, y, z que satisfagan las tres ecuaciones a la vez.

 

 

 

 

Ejemplo

 

Discutir y resolver el sistema:

 

 

Solución

 

En este caso el número de ecuaciones es mayor que el número de incógnitas, por lo que sobra alguna ecuación y por lo tanto hemos de eliminarla del sistema.

 

Pero ¿cuántas y cuáles eliminamos? La respuesta viene dado por el rango de las matrices de coeficientes y ampliada: Si el sistema tiene solución nos quedaremos con un número de ecuaciones igual al rango de la matriz de coeficientes: cuantas. Las que nos quedaremos serán aquellas que han dado lugar al rango, es decir, las que sean independientes: cuales.

 

En nuestro caso, de las cuatro ecuaciones sólo dos son independientes (luego hemos de eliminar otras dos). Como el rango de la matriz formada por los coeficientes de las dos primeras ecuaciones es 2 entonces nos quedamos con las dos primeras ecuaciones.

 

El sistema queda entonces:

 

 

Sistema compatible e indeterminado cuyas infinitas soluciones vienen dadas:

 

 

 

 

 

Caso particular: Sistemas homogéneos.

Como ya mencionamos antes, un sistema de ecuaciones lineales Ax = b se dice que es homogéneo si b es el vector nulo, es decir, todas las ecuaciones están igualadas a cero:

Hemos de destacar que en un sistema homogéneo, la matriz ampliada es A* = (A | 0), es decir, hemos añadido una columna de ceros. Como consecuencia, el rango de A coincide con el de A* por lo que el sistema siempre va a ser compatible, es decir, siempre tendrá solución. Así, los sistemas homogéneos pueden ser:

- Determinado, es decir, con una única solución, si sólo admite al cero como solución.

- Indeterminado cuando posea infinitas soluciones.

También se podría haber llegado al mismo resultado mediante el razonamiento que en un sistema homogéneo, el cero siempre es solución, ya que al sustituir en las ecuaciones todo sale cero, con lo cual siempre es compatible.

Por tanto, cuando queramos discutir estos sistemas, sólo tendremos que comprobar si el rango de A coincide con el número de incógnitas o es estrictamente menor.

 

 

Ejemplo

 

Resolver el sistema homogéneo:

Solución:

 

La matriz de los coeficientes es:

 

cuyo de determinante vale 3; al ser distinto de cero, el rango de A es dos, por lo que coincide con el número de incógnitas, con lo que concluimos que el sistema es compatible determinado, es decir, posee una única solución que es la trivial, todas las variables valen cero.

 

 

Ejemplo

 

Resolver el sistema homogéneo:

 

Solución:

 

Veamos cuánto vale el rango de la matriz de los coeficientes. Si calculamos el determinante de A resulta cero, por lo que el rango no es tres; si calculamos:

 

 

de forma que el rango de A es dos, menor que el número de incógnitas (tres), por lo que el sistema es compatible indeterminado. Para calcular sus infinitas soluciones eliminamos la tercera ecuación que no ha intervenido en el rango y pasamos a la derecha la variable z, de forma que resulta el sistema equivalente:

cuya solución es:

 

Nota: Obsérvese que entre las infinitas soluciones siempre está la trivial: x = y = z = 0, ya que si hacemos z=0, tenemos que x=0, y=0.

 

 

 

 

Método de Gauss.

Una alternativa para la resolución o discusión de un sistema es el método de Gauss. Este método se basa en transformar el sistema dado en otro equivalente (es decir, con las mismas soluciones) más sencillo de resolver; existen algunas variantes de dicho método, si bien nosotros nos centraremos en el caso donde el sistema equivalente posee una matriz asociada diagonal.

La resolución manual de dicho método la explicamos en el siguiente ejemplo.

 

Ejemplo

 

Resolver, aplicando el método de Gauss, el siguiente sistema:

 

 

Solución:

 

Hemos de transformar la matriz ampliada en una matriz equivalente diagonal. Para ello, procedemos como sigue.

 

Primero, convertimos el elemento a11 en un “1” (dividiendo toda la fila por éste):

Segundo, hacemos “ceros” en toda la primera columna, multiplicando por el número adecuado a la primera fila y sumándola con la que queremos modificar:

 

Ahora repetimos el proceso para el elemento a22 de la diagonal. Así, primero lo convertimos en “1” y después hacemos cero en toda su columna, obteniendo:

 

 

Ya hemos conseguido pasar a un sistema equivalente cuya matriz asociada es una matriz diagonal. El sistema nos queda:

1.x + 0.y = 1

0.x + 1.y = 2

cuya solución es inmediata, x = 1, y =2.

 

 

Ahora bien, ¿cómo vamos a detectar mediante el método de Gauss que el sistema tiene infinitas soluciones o no posee solución? La respuesta es muy sencilla: al llegar al sistema equivalente se deduce obviamente, como mostramos en los siguientes ejemplos.

 

 

 Ejemplo

Solución:

 

Aplicando Gauss obtenemos:

 

Al ser el último elemento de la diagonal cero no podemos seguir aplicando el método, de forma que el sistema equivalente resultante es: 

por lo que observamos que la última ecuación no da información y el sistema tiene, por tanto, infinitas soluciones, que podemos calcular pasando z al otro miembro:

 

 

 

 

Ejemplo.

 

Resolver:

 

 

Solución:

 

Al aplicar el método de Gauss obtenemos la siguiente matriz:

 

 

en el cual no podemos seguir aplicando el método por la misma razón que en el ejercicio anterior.  Así, en este caso, las ecuaciones del sistema equivalente son:

 

 

por lo que el sistema es incompatible (no posee solución) al no poderse nunca verificar la tercera ecuación del sistema equivalente.