Ecuaciones algebraicas

Se denomina ecuación algebraica  en la variable x a un polinomio en dicha variable x igualado a cero:

P(x) = 0

Se denominan raíces de P(x) = 0, a los valores de x que verifican dicha ecuación algebraica.

Por ejemplo, para la ecuación algebraica  x3 - 3 x2 + 2 x = 0   los valores de x: 0,1,2 son raíces de la misma; el valor x=3 no lo es.

La obtención mediante MATHEMATICA de las raíces de una ecuación algebraica es bastante sencillo a partir de la función:


Por lo tanto, la función  Solve[ecuación,variable]  devuelve las raíces de una ecuación algebraica.

Es importante comprobar cómo la visión geométrica de la gráfica del polinomio puede ayudarnos a entender mejor el concepto de raíz de una ecuación algebraica; de hecho, si hacemos:


podemos comprobar que las raíces reales de la ecuación algebraica   x3 - 3 x2 + 2 x = 0   coinciden con los puntos en los que la gráfica del correspondiente polinomio corta al eje de abcisas; son los puntos en los que se hace cero el polinomio; es por ello por lo que a estos puntos se les suele llamar también los ceros del polinomio.

Como una ecuación algebraica de grado “n” tiene “n” raíces reales o imaginarias, resulta que mediante su representación geométrica podremos averiguar importantes propiedades de una ecuación en particular; los siguientes ejercicios lo muestran.

 

Ejercicio

Sea el polinomio:

x5 - 3 x2 + 4

cuya representación gráfica en el intervalo [-2,2] es:


 

Con la visión de la gráfica anterior podemos afirmar que la ecuación algebraica

x5 - 3 x2 + 4 = 0

solo tiene una raíz real en el intervalo (-2,0); tiene por lo tanto 4 raíces imaginarias. Si utilizamos la función SOLVE obtenemos:


Observe el lector que hemos añadido al final de la función  //N lo cual nos devuelve la “forma aproximada” del output, en este caso de las raíces de la ecuación pedida; de otra forma (como puede comprobar el lector, obtenemos unos valores con los que no se puede trabajar)

 

 

Ejercicio

Consideremos una ecuación algebraica de grado cinco que posee dos raíces reales 2 y 5 de órdenes de multiplicidad 1 y 4 respectivamente. El polinomio asociado es   (x-2) (x-5)4


Si realizamos su representación gráfica tenemos:


 

Es decir, en una raíz de orden de multiplicidad par la gráfica del polinomio no corta al eje de abcisas sino que es tangente a él; en una raíz de orden de multiplicidad impar la gráfica corta a dicho eje.

Recuerde el lector que todo ello sólo es válido para polinomios no para otro tipo de ecuaciones.

 

Ejercicio

Obtener las raíces reales de la ecuación algebraica:

Solución:

Representemos gráficamente el polinomio:


En la misma observamos que de las cinco raíces de la ecuación sólo una es real, siendo las otras cuatro imaginarias.

La raíz real está en el intervalo  (-5,0); vamos a obtener su valor lo más exacto posible. Pare ello resolvemos de forma numérica la ecuación:


Ahora bien, ¿es buena esta aproximación?; ¿qué error estamos cometiendo?. Observe el lector que si la raíz fuese exacta, al sustituir en el polinomio x por -1.05458 debería anularse. Calculemos cuanto vale:


Luego el error que cometemos es –0.0000703119. ¿Podríamos obtener una raíz mejor que la anterior? Si, siempre que tomemos más cifras decimales. Tomemos 20:


Entonces, el error:


hemos obtenido una raíz en la que el error que cometemos es prácticamente nulo, es una raíz exacta salvo errores de redondeo que comúnmente se cometen. Lo que sí es cierto es que entre el valor anterior -1.05457 y el que acabamos de obtener, el segundo es mejor que el primero.

 

 

Ejercicio

Resolver la ecuación algebraica:

Solución:

Si representamos gráficamente el polinomio tenemos:


 

Por la gráfica parece que tiene una raíz entre 0 y 0.5; además si hacemos:


 

Es decir, estamos ante una ecuación algebraica con dos raíces reales y dos imaginarias. Las reales parecen que toman el mismo valor, pero no podemos asegurarlo.

 

 

Ejercicio

Dado que cualquier ecuación algebraica  P(x) = 0  tiene las mismas raíces que la formada por el opuesto  de P(x):  -P(x) = 0, ¿significa eso que los polinomios P(x) y -P(x) son los mismos?

Solución:

Evidentemente no.

Pongamos un ejemplo; sea la ecuación algebraica:

Si multiplicamos por (-1) obtendremos:

y sabemos que las raíces de ambas ecuaciones son las mismas (una ecuación algebraica no varía si multiplicamos o dividimos la misma por un número distinto de cero).

Consideremos el polinomio asociado a una de ellas:

Si representamos gráficamente P(x) y su opuesto:


 

Observamos que ambas gráficas sólo coinciden en las raíces de ambas, siendo simétricas respecto del eje OX.

 

 

Ejercicio

Defina una ecuación algebraica que tenga las siguientes raíces: 1,-2, pi, 3+7i , 3-7i

Solución:

Si la ecuación es en la incógnita x, ésta se obtendrá haciendo:

(x-1) (x+2) (x-pi) (x-(3+7i)) (x-(3-7i))

Trabajando en MATHEMATICA:


Si representamos gráficamente el polinomio obtenido tenemos:


 

En ella observamos que -2,1 y algo más de 3 son raíces de la correspondiente ecuación algebraica, lo cual concuerda con el enunciado del ejercicio.

Por último, si resolvemos de forma algebraica la ecuación resultante, tenemos:


Con ello el lector puede observar la potencia de los programas de cálculo simbólico.

 

 

Ejercicio

Resuelva las ecuaciones algebraicas:

a x + b = 0        a x2 + b x + c = 0

donde a, b, c  son constantes cualesquiera.

Solución

Estas ecuaciones algebraicas de grado 1 y 2 son inmediatas y su solución viene dada respectivamente por:

MATHEMATICA permite también su resolución como mostramos seguidamente:



 

 

Ejercicio

Descomponer en fracciones simples la siguiente fracción racional (cociente de polinomios)

La descomposición en fracciones simples tiene una gran importancia práctica y con la ayuda de MATHEMATICA es un ejercicio de relativa sencillez.

En primer lugar hemos de comprobar que el grado del polinomio numerador es menor que el del denominador; caso de que no lo sea hemos de dividir ambos polinomios; en este caso:

A continuación, a partir de la prueba de la división (dividendo=divisor*cociente+resto)  tenemos:

con ello resulta que el cociente anterior:

habiendo conseguido descomponer la fracción racional dada en una suma de un polinomio (el resto de la división anterior) más una fracción racional más sencilla que la anterior, en la que el grado del numerador es menor que el del denominador.

Por lo tanto siempre consideraremos que la fracción racional con la que vamos a trabajar es de éste tipo, ya que en caso contrario procederemos en la forma que acabamos de ver.

Pues bien para una fracción racional dada:

 

si los ceros reales del denominador son, por ejemplo 2,3,3,4,4,4 la descomposición en fracciones simples sería de la forma:

donde A, B, C, D, E, F  son coeficientes indeterminados que hay que calcular. Obsérvese que hay una fracción por cada cero del polinomio que forma el denominador de la fracción racional dada.

Para nuestra fracción racional:

si calculamos los ceros del denominador veremos que son 2, -2, 1 con lo que la descomposición será de la forma:

La obtención de los valores de A, B y C puede hacerse siguiendo varios caminos; uno de ellos es sumando las tres fraccione de la derecha e igualando numeradores:

Como esta igualdad es válida para cualquier valor de x, damos precisamente:

Con ello tenemos ya la descomposición hecha:

Luego la fracción racional dada se descompondrá en fracciones simples en la forma:

 

MATHEMATICA nos permite un considerable ahorro a la hora de descomponer en fracciones simples una fracción racional tal y como puede comprobar el lector: